Le petit théorème

« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1 ... Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long. »

Pierre de Fermat : lettre à Frenicle de Bessy, le 18 octobre 1640

Théorème :

« Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier,
alors a p-1 - 1 est un multiple de p » et « a p-1 ≡ 1 [p] ».


Corollaire :

pour tout a entier et p premier, a p - a est divisible par p, ou a p ≡ a [p]

  • 7 2 − 7 = 42 est divisible par 2
  • 2 5 − 2 = 30 est divisible par 5
  • (−3) 7 + 3 = − 2 184 est divisible par 7

De plus : si p et q sont deux nombres premiers on a pour tout x < n

x1 + kn' ≡ x [n]n' = (p-1)*(q-1) et n = pq

Application : Le cryptage RSA

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